sexta-feira, 2 de janeiro de 2015

EXISTE UMA FUNÇÃO DOS REAIS NOS REAIS CONTÍNUA QUE TRANSFORME TODO NÚMERO RACIONAL NUM IRRACIONAL E VICE-VERSA?

 

     Neste post vamos tratar de um resultado bastante significativo no campo da Análise Real, ou, mais precisamente, no âmbito das funções contínuas. Nosso objetivo é mostrar que, não importa o quanto se procure, nunca encontraremos uma função contínua $f$, definida no conjunto dos números reais e tomando valores neste mesmo conjunto, que transforme todo número racional em um número irracional e vice-versa.


     De fato, admitamos que exista uma função $f$ conforme descrito. Definamos $g(x) = f(x) - x$. Então, se $x$ é racional $f(x)$ é irracional e vice versa, de modo que $g(x)$ é sempre irracional. Além disto, $g$ é contínua e, portanto, há duas possibilidades para o conjunto $g(\mathbb{R})$, à saber: ou $g(\mathbb{R})$ é um intervalo ou $g(\mathbb{R})$ é um conjunto com um único elemento.

    Como $g(\mathbb{R})$ é um subconjunto dos irracionais, cujo interior é vazio, segue-se que
$g(\mathbb{R})$ não pode conter um intervalo aberto, o que implica que tal conjunto contém apenas um  elemento, ou seja, $g(\mathbb{R}) = \{\alpha\}$, sendo $\alpha$ um irracional. Assim, para todo real $x$, temos que $f(x) = x + \alpha$. Em particular, tomando $x=\alpha$, temos $f(\alpha)=2\alpha$, de modo que $2\alpha$ é irracional. Assim, contrariamente à hipótese, $f$ leva o irracional $\alpha$ no irracional $2\alpha$. Daí concluímos que não existe nenhuma função contínua com tal característica.


     Ressalte-se que há funções que levam racionais em irracionais e vice versa, mas nenhuma que seja contínua em $\mathbb{R}$. Um exemplo trivial é $f(x) = \sqrt{2}$ se $x$ for racional e $f(x)=2$ se $x$ for irracional. Mas obviamente $f$ não é contínua.

domingo, 22 de dezembro de 2013



Todo espaço vetorial possui uma base

 

 

 

 Este resultado, trivial no caso finito, é de fato bastante surpreendente quando se pensa em espaços vetoriais de dimensão infinita.


A ideia de escrever este post surgiu após estudar o capítulo 1 do livro de análise funcional do BREZIS, mais precisamente, a forma analítica do Teorema de Hahn – Banach. A prova deste importante teorema necessita do Lema de Zorn, que é um axioma da teoria dos conjuntos equivalente ao Axioma da Escolha, normalmente apresentado por:


 “Se em um conjunto não vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma cota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.”


 Durante o estudo pude constatar que uma aplicação simples do Lema de Zorn é provar que todo espaço vetorial independente de sua dimensão possui uma base, então me lembrei das aulas de álgebra linear, as quais esta afirmação era demonstrada apenas para o caso de dimensão finita (presumivelmente para evitar falar sobre o axioma da escolha e lema de Zorn). Diante dos fatos citados apresento a seguinte demonstração, que independe da dimensão do espaço. 


            Seja $E$ um espaço vetorial qualquer. Se $E$ possui apenas o vetor nulo, então este vetor será a base de $E$. Caso $E$ possua infinitos elementos consideramos o conjunto
 $$P=\{L\subset E;\textrm{ }L\textrm{  é linearmente independente}\}.$$ 
              Neste caso, é claro que $E$ é não vazio, uma vez que todo conjunto contendo um único elemento não nulo é linearmente independente.Vejamos agora que é possível munir $P$ de uma ordem parcial ''$\leq$'' dizendo que $L_1 \leq L_2$ se, e somente se,  $L_1 \subset L_2$. Agora seja $Q \subset P$ um conjunto totalmente ordenado. Vamos mostrar que $P$ é indutivo, ou seja, existe $\tilde{L}\in P$ tal que $A \leq \tilde{L}$ para todo $A \in Q $ (neste caso $\tilde{L}$ é uma cota superior para $Q$).  Para tanto, defina $$\tilde{L}=\bigcup_{L_{\alpha} \in Q} L_\alpha .$$
            É claro que $\tilde{L} \in P$, pois dada uma combinação linear qualquer com os elementos de $\tilde{L}$ dando o vetor nulo, digamos $$a_1x_1 +  \ldots + a_nx_n = 0,$$ com $x_1 \in L_{\alpha_{1}}, \ldots , x_n \in L_{\alpha_{n}}$, como os $L_{\alpha_{i}}$'s pertencem a $Q$ e $Q$ é totalmente ordenado, existe $L_{\alpha_{j}}$ que contém todos os $x_{i's}$, $i=1, \ldots , n$. Mas $L_{\alpha_{j}} \in P$, logo $a_i=0$, $i=1, \ldots , n$. Portanto, $\tilde{L} \in P$. Isto mostra também que $\tilde{L}$ é cota superior para $Q$. Daí, pelo lema de Zorn, temos que $P$ possui um elemento maximal, digamos $\beta$. O próximo passo é mostrar que $\beta$ é uma base de $E$. Para isto, basta mostrar que $\textrm{Span}\, \beta = E$. De fato, se existisse $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$, então definiríamos $L=\{x\} \cup \beta$. Com isso,
  • Se $L$ fosse linearmente independente, então $L$ pertenceria a $P$, logo teríamos $\tilde{L}> \beta$ (contradição, já que $\beta$ é maximal). 
  • Se $L$ fosse linearmente dependente, então teríamos uma equação do tipo $$ax + \sum b_i \beta_i = 0, \quad \beta_i \in \beta,$$ onde os coeficientes não seriam todos nulos. Mas isso acarretaria duas possibilidades:
  1. Se $a=0$ então $\beta_i=0$ (contradição, pois neste caso $L$ seria linearmente independente); 
  2. Se $a\neq 0$ então $x=\sum\left(\frac{-bi}{a}\right)\beta_i$, logo $x \in \textrm{Span}\, \beta$. (contradição, pois supomos $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$).

Em qualquer caso chegaríamos a uma contradição. Portanto, $\textrm{Span}\, \beta= E$. Isto mostra que $\beta$ é uma base de $E$.

Referências

  1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Diferential Equations, Springer-Verlag, 2010. 
  2. http://pt.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Zorn


terça-feira, 17 de setembro de 2013


 Uma solução analítica para o problema "casca grossa" do triângulo russo



A motivação para escrever esta solução surgiu depois de uma visita ao blog Happy Hour Matemático. Após um comentário feito por mim sobre a existência de uma solução analítica, recebi um convite para apresentar tal solução.

Inicialmente, gostaria de agradecer ao professor Alexandre pela oportunidade e ressaltar a importância de se propor problemas e desafios tais como esse, que levam o leitor a elaborar estratégias e experimentá-las.

Com respeito ao desafio, trata-se de um clássico problema de geometria, que remonta há pelo menos 1922, quando ele apareceu na Gazeta de Matemática, Volume 11, p. 173. Ele é conhecido como o problema de Langley, em homenagem ao autor, Edward M Langley. Apelidado carinhosamente de triângulo russo, já que aparece como um exercício proposto de um livro de matemática russo cujo principal autor chama-se V. Lidski,  é também conhecido como "triângulo de Lidski".
 

Existem várias versões desse triângulo, muitos estudantes de geometria já se depararam com alguma delas. Por exemplo, na Revista do Professor de Matemática número 4, na seção: O leitor pergunta (p. 42), duas soluções são apresentadas, sendo uma por construção e a outra utilizando um polígono regular de 18 lados. Já na RPM de número  5 (p. 45), verifica-se uma terceira solução fazendo uso da lei dos senos. Há ainda uma solução interativa onde os leitores mais curiosos poderão encontrar em aqui.

Agora sem mais delongas, vamos ao que interessa!

Questão: Na figura abaixo, sabendo que $\overline{AB}=\overline{BC}$, determine o valor do ângulo $A\hat{D}E = \theta$.



Solução.  Iniciamos anexando a base $\overline{AC}$ do triângulo sobre o eixo $x$ e adotando-a como a unidade padrão de medida, de modo que $A$ coincida com a origem dos eixos (Ver Figura abaixo). Em seguida, prolongamos o segmento $\overline{DE}$ de sorte que corte o eixo $x$ no ponto $F$ e forme com este eixo um ângulo $\varphi$. Nossa estratégia será bastante simples: Vamos determinar a medida do ângulo $\varphi$ e então o teorema do ângulo externo fornecerá o valor de $\theta$.


Nessa perspectiva, observamos que as retas $\stackrel{\longleftrightarrow}{AD}$ e  $\stackrel{\longleftrightarrow}{AE}$   são dadas, respectivamente, pelas equações $y = \tan 60°x$   e   $y = \tan 80^{\circ}x$. Agora, olhando para o triângulo $ACE$, isósceles de base $\overline{CE}$, vemos que $\overline{AE}=1$, então podemos dizer que o par $(\cos 80^{\circ} , \sin 80^{\circ})$ representa as coordenadas do ponto $E$. 

Além disso, a reta $\stackrel{\longleftrightarrow}{CB}$ cuja equação é $y =\tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}x$ intersecta a reta $\stackrel{\longleftrightarrow}{AD}$ no ponto $D$ de coordenadas $(\cos 40°, 2\sin 60°\cdot \cos 40°)$. De fato, 

\begin{eqnarray*}
 \tan 60^{\circ}x= \tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}x &\Leftrightarrow& x = \frac{\tan 80^{\circ}}{\tan 80^{\circ}+\tan 60^{\circ}}\\
 &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 80°}{\cos 80°} \cdot \frac{\cos 80° \cdot \cos 60°}{\sin 140°}\\
  &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40°\cdot \cos 40°}{2\sin 70°\cdot \cos 70°}\\
  &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40° \cdot \cos 40°}{2\cos 20° \cdot \sin 20°}\\
   &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40°\cdot \cos 40°}{\sin 40°}\\
    &\Leftrightarrow& x= \cos 40°.
\end{eqnarray*}
e daí, $y = 2\sin 60°\cdot \cos 40°$.

Agora podemos determinar a medida do ângulo $\varphi$, uma vez que 

\begin{eqnarray*}
 \tan \varphi &=& \frac{2\sin 60°\cdot \cos 40°-\sin 80°}{\cos 40° - \cos 80°}\\
 &=& \frac{2\sin 60°\cdot \cos 40°-2\sin 40° \cdot \cos 40°}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(\sin 60° -\sin 40°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(2\sin 10° \cdot \cos 50°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(2\cos 80° \cdot \sin 40°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
  &=& \frac{\sin 160°}{\sqrt{3}\cdot \sin 20°}\\
  &=& \frac{\sqrt{3}}{3}.
 \end{eqnarray*}

Logo, $\varphi= 30°$ e como $\measuredangle
 CAD = 60°$ é ângulo externo ao triângulo $ADF$, segue-se que $\theta = 30°$.   $\square$

sexta-feira, 16 de novembro de 2012


 TORRE DE HANÓI E AS PROGRESSÕES
 ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS

      A Torre de Hanói é um jogo com aplicações que podem ser basicamente usadas em escolas por professores que desejam melhorar e desenvolver o cognitivo de seus alunos.

      Neste jogo, inventado pelo matematico francês Edouard Lucas em 1883, o objetivo e transferir os 7 discos colocados em ordem ascendente de tamanho (de cima para baixo) para um dos outros dois pinos livres (veja ilustração abaixo), na mesma ordem, e efetuando o menor número de movimentos. Somente um disco pode ser mudado de pino a cada movimento, e ele não pode ser colocado em cima de um disco menor.




 Há uma lenda, imaginada pelo próprio Edouard Lucas, sobre a Torre de Hanói:

     No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço. Deus então chamou seus sacerdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará. 

     Uma questão interessante é saber qual o menor número de movimentos necessários para resolver uma Torre de Hanói com n discos. A tabela abaixo mostra o menor número de movimentos possíveis com n discos (n = 1, ... , 7).


      Pode-se demonstrar, usando indução matemática sobre n, que a fórmula para obter o menor número de movimentos necessários para resolver uma Torre de Hanói com n discos é dada por 


    Uma outra maneira de obter a fómula acima é observar que a sequência do número mínimo de movimentos (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... ) é uma Progressão Aritmético - Geométrica (PAG) e calcular seu termo geral.

      O objetivo deste post, além de divulgar a Torre de Hanói e apresentar um outro tipo de sequência que ocorre com bastante frequência em problemas de recorrência, apesar de ser pouco explorada no ensino médio.

Definição. Uma PAG é uma sequência (an) tal que para todo n natural vale an+1 = qan + r,  cujo termo geral é dado por

 



sendo a1, r e q constantes reais não nulas e q ≠ 1.

Exemplo: A sequência (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... ) é uma PAG com termo geral dado por


 

      Convidamos você, amigo leitor, para fazer o download de um artigo nosso publicado na Revista do Professor de Matemática, vol. 73 de 2010. Neste artigo é  dada uma abordagem simples com exemplos e aplicações do referido assunto.




quinta-feira, 1 de novembro de 2012

 

Symplectic Topology and Applications - IMPA, Rio de Janeiro 

      O objetivo desse evento foi apresentar recentes desenvolvimentos da Topologia Simplética com aplicações em diferentes áreas.  Uma ênfase particular foi dada ao uso de curvas pseudo-holomorfas na construção de invariantes globais relacionados com a dinâmica de fluxo de Hamilton. Esses métodos foram introduzidos por Gromov em sua obra seminal e teve um grande impacto com a invenção de Floer e sua teoria de homologia. Recentemente, essas técnicas foram incorporadas em uma grande estrutura introduzida por Eliashberg, Givental e Hofer, chamada Teoria do Campo Simplético. Perguntas emocionantes e conexões com outras áreas da matemática surgiram desde então, tornando-se um ramo de pesquisa extremamente ativa. As palestras incluem a formação básica necessária e são autossuficientes.

 

Lembranças do evento que eu me orgulho em ter participado









 



O USO DO WINPLOT COMO FERRAMENTA PARA O ESTUDO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO NO PLANO

   
Este post foi elaborado a partir de uma conferência que eu apresentei em 2009 no III ENCONTRO DOS ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DA FAFIDAM  (Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos - Limoeiro do Norte).


1. O QUE É  WINPLOT ?   


     O WINPLOT é um software, capaz de representar diversos tipos de gráficos em 2D e 3D, desde pontos, funções nas formas explícita, paramétrica e polar, dentre outras, bem como apresenta algumas ferramentas para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. É, também, um ambiente de jogo, quando é acessado o menu "adivinhar". Um plotador gráfico ideal para todos os níveis educacionais.

   Desenvolvido pelo professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, o Winplot é um dos principais softwares da linha Peanut Softwares, que contém uma lista de vários outros softwares matemáticos.  

    Programa simples, mas poderoso, podendo executar grande número de tarefas. Outra de suas vantagens é ser gratuito, podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior. Neste sentido achamos útil que este programa seja difundido para professores de matemática, trazendo com isso uma possibilidade maior de interação às aulas de matemática.
    

  Nosso propósito, a partir de agora, é usá-lo como uma ferramenta de apoio para um tópico de Álgebra Linear, as transformações do plano no plano.


 2. Transformações do plano no plano:



   Nesta apresentação serão abordados os aspectos de investigação matemática com apoio do módulo “Mapeador” do Winplot para uma melhor visão geométrica das transformações do plano (R2) no plano. Veremos assim, que, por exemplo uma expansão, uma rotação e certas deformações podem ser descritas por transformações lineares.


  3. Mapeador do Winplot – Plano xy

    
        Este módulo permite que professores e alunos trabalhem com duas janelas simultaneamente, uma para o domínio e outra para o contradomínio, permitindo a interação entre eles, e tornando mais dinâmica a apresentação dessas transformações.


  4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR



Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: VW é dita linear se forem verificadas as relações:
         
       i) T(u + v) = T(u) + T(v);
       ii) T(au) = aT(u),  sendo a um número real e u, v elementos de V

      Se V = W e T é uma transformação linear, então T é chamado de operador linear sobre V.

Exemplo 1: A aplicação T: R2 R2  definida por T(v) = kv é um operador linear de R2, chamado de  homotetia  de razão k de R2. Se k > 1, dizemos que T é uma dilatação ( ou expansão) e se 0 < k < 1, dizemos que T é uma contração.









      Observe o efeito geométrico obtido com essa transformação. A homotetia (contração) “diminuiu” o tamanho do triângulo original. O primeiro triângulo tem base e altura de medidas 4 unidades de comprimento e 3 unidades de comprimento, respectivamente, enquanto o segundo tem base e altura de medidas 2 unidades de comprimento e 1,5 unidades de comprimento, respectivamente.

Exemplo 2: O ponto P’ é o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é a mediatriz do 
segmento PP’. Se P pertencer a r, então o seu simétrico em relação a r é ele próprio.



       A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x , –y ) é uma reflexão em torno do eixo x. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x e V(x,y) = –y e plote o mesmo triângulo do exemplo anterior com cor azul.



    Agora, considere a aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = ( –x , y ) que é uma reflexão em torno do eixo y. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = –x e V(x,y) = y e observe a nova posição do triângulo.




Exemplo 3: A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x + αy, y) é chamada cisalhamento horizontal de fator α . Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x+2y e V(x,y) = y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.


A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x , αx + y) é chamada cisalhamento vertical de fator α . Na opção Função|Nova, digite    U(x,y) = x e V(x,y) = 2x + y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.






Exercício: Considere novamente a aplicação T: R2 R2 definida por :
 T(x,y) = (xcosθysenθ, xsenθ + ycosθ).


 Digitando  U(x,y) = xcos(a) – ysin(a) e V(x,y) = xsin(a) + ycos(a)) e fazendo o parâmetro “a” variar num determinado intervalo, podemos visualizar a rotação de uma figura em torno da origem dinamicamente. Por exemplo, construa um quadrado com os seguintes segmentos: de (0,0) até (1,0), de (1,0) até (1,1), de (1,1) até (0,1) e de (0,1) até (0,0). Na opção Anim | Parâmetros A-W , digite 0 e clique em “def-L” e digite 2pi e clique em “def-R” e, em seguida, clique em “auto cícl”.


Atenção: Em breve postarei um vídeo ensinado passo - a - passo esta atividade!