terça-feira, 17 de setembro de 2013


 Uma solução analítica para o problema "casca grossa" do triângulo russo



A motivação para escrever esta solução surgiu depois de uma visita ao blog Happy Hour Matemático. Após um comentário feito por mim sobre a existência de uma solução analítica, recebi um convite para apresentar tal solução.

Inicialmente, gostaria de agradecer ao professor Alexandre pela oportunidade e ressaltar a importância de se propor problemas e desafios tais como esse, que levam o leitor a elaborar estratégias e experimentá-las.

Com respeito ao desafio, trata-se de um clássico problema de geometria, que remonta há pelo menos 1922, quando ele apareceu na Gazeta de Matemática, Volume 11, p. 173. Ele é conhecido como o problema de Langley, em homenagem ao autor, Edward M Langley. Apelidado carinhosamente de triângulo russo, já que aparece como um exercício proposto de um livro de matemática russo cujo principal autor chama-se V. Lidski,  é também conhecido como "triângulo de Lidski".
 

Existem várias versões desse triângulo, muitos estudantes de geometria já se depararam com alguma delas. Por exemplo, na Revista do Professor de Matemática número 4, na seção: O leitor pergunta (p. 42), duas soluções são apresentadas, sendo uma por construção e a outra utilizando um polígono regular de 18 lados. Já na RPM de número  5 (p. 45), verifica-se uma terceira solução fazendo uso da lei dos senos. Há ainda uma solução interativa onde os leitores mais curiosos poderão encontrar em aqui.

Agora sem mais delongas, vamos ao que interessa!

Questão: Na figura abaixo, sabendo que $\overline{AB}=\overline{BC}$, determine o valor do ângulo $A\hat{D}E = \theta$.



Solução.  Iniciamos anexando a base $\overline{AC}$ do triângulo sobre o eixo $x$ e adotando-a como a unidade padrão de medida, de modo que $A$ coincida com a origem dos eixos (Ver Figura abaixo). Em seguida, prolongamos o segmento $\overline{DE}$ de sorte que corte o eixo $x$ no ponto $F$ e forme com este eixo um ângulo $\varphi$. Nossa estratégia será bastante simples: Vamos determinar a medida do ângulo $\varphi$ e então o teorema do ângulo externo fornecerá o valor de $\theta$.


Nessa perspectiva, observamos que as retas $\stackrel{\longleftrightarrow}{AD}$ e  $\stackrel{\longleftrightarrow}{AE}$   são dadas, respectivamente, pelas equações $y = \tan 60°x$   e   $y = \tan 80^{\circ}x$. Agora, olhando para o triângulo $ACE$, isósceles de base $\overline{CE}$, vemos que $\overline{AE}=1$, então podemos dizer que o par $(\cos 80^{\circ} , \sin 80^{\circ})$ representa as coordenadas do ponto $E$. 

Além disso, a reta $\stackrel{\longleftrightarrow}{CB}$ cuja equação é $y =\tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}x$ intersecta a reta $\stackrel{\longleftrightarrow}{AD}$ no ponto $D$ de coordenadas $(\cos 40°, 2\sin 60°\cdot \cos 40°)$. De fato, 

\begin{eqnarray*}
 \tan 60^{\circ}x= \tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}x &\Leftrightarrow& x = \frac{\tan 80^{\circ}}{\tan 80^{\circ}+\tan 60^{\circ}}\\
 &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 80°}{\cos 80°} \cdot \frac{\cos 80° \cdot \cos 60°}{\sin 140°}\\
  &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40°\cdot \cos 40°}{2\sin 70°\cdot \cos 70°}\\
  &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40° \cdot \cos 40°}{2\cos 20° \cdot \sin 20°}\\
   &\Leftrightarrow& x= \frac{\sin 40°\cdot \cos 40°}{\sin 40°}\\
    &\Leftrightarrow& x= \cos 40°.
\end{eqnarray*}
e daí, $y = 2\sin 60°\cdot \cos 40°$.

Agora podemos determinar a medida do ângulo $\varphi$, uma vez que 

\begin{eqnarray*}
 \tan \varphi &=& \frac{2\sin 60°\cdot \cos 40°-\sin 80°}{\cos 40° - \cos 80°}\\
 &=& \frac{2\sin 60°\cdot \cos 40°-2\sin 40° \cdot \cos 40°}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(\sin 60° -\sin 40°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(2\sin 10° \cdot \cos 50°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
 &=& \frac{2\cos 40°(2\cos 80° \cdot \sin 40°)}{2\sin 60°\cdot \sin 20°}\\
  &=& \frac{\sin 160°}{\sqrt{3}\cdot \sin 20°}\\
  &=& \frac{\sqrt{3}}{3}.
 \end{eqnarray*}

Logo, $\varphi= 30°$ e como $\measuredangle
 CAD = 60°$ é ângulo externo ao triângulo $ADF$, segue-se que $\theta = 30°$.   $\square$