Este espaço é destinado aos amantes da Matemática que não resistem a um desafio saudável. O intuito é apenas passa tempo e diversão, por isso, o teor das questões é relativamente simples. Os interessados podem enviar (aqui) sugestões de desafios e também soluções, em qualquer caso, desafios ou soluções enviadas serão publicadas e devidamente citadas.
- Ocorre um acidente de trânsito e o culpado foge. Uma viatura policial passando pelo local pára e um policial pergunta aos ocupantes de um carro que se encontrava próximo se eles viram a placa do carro. Um dos ocupantes do carro (que era matemático) responde: Eu percebi que os dois primeiros algarismos da placa eram iguais. Um segundo ocupante (também matemático) responde: Notei que os dois últimos algarismos também eram iguais, mas eram diferentes dos dois primeiros. O terceiro ocupante do carro (adivinhem!) diz: Dos algarismos eu não lembro, mas tenho certeza que o número era um quadrado perfeito. Com essas informações é possível determinar o número da placa?
- Três meses consecutivos de um determinado ano, não bissexto, possuem exatamente quatro domingos cada um. Prove que um destes meses é fevereiro.
- Determine todas as raízes, reais ou complexas, do polinômio p(x)={2n \choose 2n}x^{2n}+{2n \choose 2n-2}x^{2n-2}+{2n \choose 2n-4}x^{2n-4}+ \ldots + {2n \choose 0}.
- Sejam u e v duas raízes da equação z^{1997}=1. Determine a probabilidade de que |u+v|\geq \sqrt{2+\sqrt{3}}.
- Mostre que para quaisquer a,b,c \in \mathbb{R} o sistema de equações \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 3(x^2+y^2 +z^2)+a^2+b^2+c^2 =6 \\ \displaystyle ax+by+cz=2 \end{array} \right. não possui soluções reais x,y,z.
- Mostre que \sqrt{2}+\sqrt[3]{2} é irracional.
- Seja f uma função definida em \mathbb{Z}_{+}, satisfazendo: \begin{array}{lll} \displaystyle f(1)=1 \\ \displaystyle f(2n)=2f(n)+1 \\ \displaystyle f(f(n))=4n+3, \textrm{ }n>1. \end{array} Calcule f(1990).
- Provar que \mbox{tg}^2\,1^{\circ}+\mbox{tg}^2 \,3^{\circ}+\cdots+\mbox{tg}^2\,87^{\circ}+\mbox{tg}^2\,89^{\circ}=4005.
