sexta-feira, 16 de novembro de 2012


 TORRE DE HANÓI E AS PROGRESSÕES
 ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS

      A Torre de Hanói é um jogo com aplicações que podem ser basicamente usadas em escolas por professores que desejam melhorar e desenvolver o cognitivo de seus alunos.

      Neste jogo, inventado pelo matematico francês Edouard Lucas em 1883, o objetivo e transferir os 7 discos colocados em ordem ascendente de tamanho (de cima para baixo) para um dos outros dois pinos livres (veja ilustração abaixo), na mesma ordem, e efetuando o menor número de movimentos. Somente um disco pode ser mudado de pino a cada movimento, e ele não pode ser colocado em cima de um disco menor.




 Há uma lenda, imaginada pelo próprio Edouard Lucas, sobre a Torre de Hanói:

     No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço. Deus então chamou seus sacerdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará. 

     Uma questão interessante é saber qual o menor número de movimentos necessários para resolver uma Torre de Hanói com n discos. A tabela abaixo mostra o menor número de movimentos possíveis com n discos (n = 1, ... , 7).


      Pode-se demonstrar, usando indução matemática sobre n, que a fórmula para obter o menor número de movimentos necessários para resolver uma Torre de Hanói com n discos é dada por 


    Uma outra maneira de obter a fómula acima é observar que a sequência do número mínimo de movimentos (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... ) é uma Progressão Aritmético - Geométrica (PAG) e calcular seu termo geral.

      O objetivo deste post, além de divulgar a Torre de Hanói e apresentar um outro tipo de sequência que ocorre com bastante frequência em problemas de recorrência, apesar de ser pouco explorada no ensino médio.

Definição. Uma PAG é uma sequência (an) tal que para todo n natural vale an+1 = qan + r,  cujo termo geral é dado por

 



sendo a1, r e q constantes reais não nulas e q ≠ 1.

Exemplo: A sequência (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... ) é uma PAG com termo geral dado por


 

      Convidamos você, amigo leitor, para fazer o download de um artigo nosso publicado na Revista do Professor de Matemática, vol. 73 de 2010. Neste artigo é  dada uma abordagem simples com exemplos e aplicações do referido assunto.




quinta-feira, 1 de novembro de 2012

 

Symplectic Topology and Applications - IMPA, Rio de Janeiro 

      O objetivo desse evento foi apresentar recentes desenvolvimentos da Topologia Simplética com aplicações em diferentes áreas.  Uma ênfase particular foi dada ao uso de curvas pseudo-holomorfas na construção de invariantes globais relacionados com a dinâmica de fluxo de Hamilton. Esses métodos foram introduzidos por Gromov em sua obra seminal e teve um grande impacto com a invenção de Floer e sua teoria de homologia. Recentemente, essas técnicas foram incorporadas em uma grande estrutura introduzida por Eliashberg, Givental e Hofer, chamada Teoria do Campo Simplético. Perguntas emocionantes e conexões com outras áreas da matemática surgiram desde então, tornando-se um ramo de pesquisa extremamente ativa. As palestras incluem a formação básica necessária e são autossuficientes.

 

Lembranças do evento que eu me orgulho em ter participado









 



O USO DO WINPLOT COMO FERRAMENTA PARA O ESTUDO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO NO PLANO

   
Este post foi elaborado a partir de uma conferência que eu apresentei em 2009 no III ENCONTRO DOS ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DA FAFIDAM  (Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos - Limoeiro do Norte).


1. O QUE É  WINPLOT ?   


     O WINPLOT é um software, capaz de representar diversos tipos de gráficos em 2D e 3D, desde pontos, funções nas formas explícita, paramétrica e polar, dentre outras, bem como apresenta algumas ferramentas para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. É, também, um ambiente de jogo, quando é acessado o menu "adivinhar". Um plotador gráfico ideal para todos os níveis educacionais.

   Desenvolvido pelo professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, o Winplot é um dos principais softwares da linha Peanut Softwares, que contém uma lista de vários outros softwares matemáticos.  

    Programa simples, mas poderoso, podendo executar grande número de tarefas. Outra de suas vantagens é ser gratuito, podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior. Neste sentido achamos útil que este programa seja difundido para professores de matemática, trazendo com isso uma possibilidade maior de interação às aulas de matemática.
    

  Nosso propósito, a partir de agora, é usá-lo como uma ferramenta de apoio para um tópico de Álgebra Linear, as transformações do plano no plano.


 2. Transformações do plano no plano:



   Nesta apresentação serão abordados os aspectos de investigação matemática com apoio do módulo “Mapeador” do Winplot para uma melhor visão geométrica das transformações do plano (R2) no plano. Veremos assim, que, por exemplo uma expansão, uma rotação e certas deformações podem ser descritas por transformações lineares.


  3. Mapeador do Winplot – Plano xy

    
        Este módulo permite que professores e alunos trabalhem com duas janelas simultaneamente, uma para o domínio e outra para o contradomínio, permitindo a interação entre eles, e tornando mais dinâmica a apresentação dessas transformações.


  4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR



Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: VW é dita linear se forem verificadas as relações:
         
       i) T(u + v) = T(u) + T(v);
       ii) T(au) = aT(u),  sendo a um número real e u, v elementos de V

      Se V = W e T é uma transformação linear, então T é chamado de operador linear sobre V.

Exemplo 1: A aplicação T: R2 R2  definida por T(v) = kv é um operador linear de R2, chamado de  homotetia  de razão k de R2. Se k > 1, dizemos que T é uma dilatação ( ou expansão) e se 0 < k < 1, dizemos que T é uma contração.









      Observe o efeito geométrico obtido com essa transformação. A homotetia (contração) “diminuiu” o tamanho do triângulo original. O primeiro triângulo tem base e altura de medidas 4 unidades de comprimento e 3 unidades de comprimento, respectivamente, enquanto o segundo tem base e altura de medidas 2 unidades de comprimento e 1,5 unidades de comprimento, respectivamente.

Exemplo 2: O ponto P’ é o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é a mediatriz do 
segmento PP’. Se P pertencer a r, então o seu simétrico em relação a r é ele próprio.



       A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x , –y ) é uma reflexão em torno do eixo x. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x e V(x,y) = –y e plote o mesmo triângulo do exemplo anterior com cor azul.



    Agora, considere a aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = ( –x , y ) que é uma reflexão em torno do eixo y. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = –x e V(x,y) = y e observe a nova posição do triângulo.




Exemplo 3: A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x + αy, y) é chamada cisalhamento horizontal de fator α . Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x+2y e V(x,y) = y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.


A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x , αx + y) é chamada cisalhamento vertical de fator α . Na opção Função|Nova, digite    U(x,y) = x e V(x,y) = 2x + y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.






Exercício: Considere novamente a aplicação T: R2 R2 definida por :
 T(x,y) = (xcosθysenθ, xsenθ + ycosθ).


 Digitando  U(x,y) = xcos(a) – ysin(a) e V(x,y) = xsin(a) + ycos(a)) e fazendo o parâmetro “a” variar num determinado intervalo, podemos visualizar a rotação de uma figura em torno da origem dinamicamente. Por exemplo, construa um quadrado com os seguintes segmentos: de (0,0) até (1,0), de (1,0) até (1,1), de (1,1) até (0,1) e de (0,1) até (0,0). Na opção Anim | Parâmetros A-W , digite 0 e clique em “def-L” e digite 2pi e clique em “def-R” e, em seguida, clique em “auto cícl”.


Atenção: Em breve postarei um vídeo ensinado passo - a - passo esta atividade!