quinta-feira, 1 de novembro de 2012



O USO DO WINPLOT COMO FERRAMENTA PARA O ESTUDO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO NO PLANO

   
Este post foi elaborado a partir de uma conferência que eu apresentei em 2009 no III ENCONTRO DOS ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DA FAFIDAM  (Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos - Limoeiro do Norte).


1. O QUE É  WINPLOT ?   


     O WINPLOT é um software, capaz de representar diversos tipos de gráficos em 2D e 3D, desde pontos, funções nas formas explícita, paramétrica e polar, dentre outras, bem como apresenta algumas ferramentas para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. É, também, um ambiente de jogo, quando é acessado o menu "adivinhar". Um plotador gráfico ideal para todos os níveis educacionais.

   Desenvolvido pelo professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, o Winplot é um dos principais softwares da linha Peanut Softwares, que contém uma lista de vários outros softwares matemáticos.  

    Programa simples, mas poderoso, podendo executar grande número de tarefas. Outra de suas vantagens é ser gratuito, podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior. Neste sentido achamos útil que este programa seja difundido para professores de matemática, trazendo com isso uma possibilidade maior de interação às aulas de matemática.
    

  Nosso propósito, a partir de agora, é usá-lo como uma ferramenta de apoio para um tópico de Álgebra Linear, as transformações do plano no plano.


 2. Transformações do plano no plano:



   Nesta apresentação serão abordados os aspectos de investigação matemática com apoio do módulo “Mapeador” do Winplot para uma melhor visão geométrica das transformações do plano (R2) no plano. Veremos assim, que, por exemplo uma expansão, uma rotação e certas deformações podem ser descritas por transformações lineares.


  3. Mapeador do Winplot – Plano xy

    
        Este módulo permite que professores e alunos trabalhem com duas janelas simultaneamente, uma para o domínio e outra para o contradomínio, permitindo a interação entre eles, e tornando mais dinâmica a apresentação dessas transformações.


  4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR



Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: VW é dita linear se forem verificadas as relações:
         
       i) T(u + v) = T(u) + T(v);
       ii) T(au) = aT(u),  sendo a um número real e u, v elementos de V

      Se V = W e T é uma transformação linear, então T é chamado de operador linear sobre V.

Exemplo 1: A aplicação T: R2 R2  definida por T(v) = kv é um operador linear de R2, chamado de  homotetia  de razão k de R2. Se k > 1, dizemos que T é uma dilatação ( ou expansão) e se 0 < k < 1, dizemos que T é uma contração.









      Observe o efeito geométrico obtido com essa transformação. A homotetia (contração) “diminuiu” o tamanho do triângulo original. O primeiro triângulo tem base e altura de medidas 4 unidades de comprimento e 3 unidades de comprimento, respectivamente, enquanto o segundo tem base e altura de medidas 2 unidades de comprimento e 1,5 unidades de comprimento, respectivamente.

Exemplo 2: O ponto P’ é o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é a mediatriz do 
segmento PP’. Se P pertencer a r, então o seu simétrico em relação a r é ele próprio.



       A aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = (x , –y ) é uma reflexão em torno do eixo x. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x e V(x,y) = –y e plote o mesmo triângulo do exemplo anterior com cor azul.



    Agora, considere a aplicação T: R2 → R2 definida por T(x,y) = ( –x , y ) que é uma reflexão em torno do eixo y. Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = –x e V(x,y) = y e observe a nova posição do triângulo.




Exemplo 3: A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x + αy, y) é chamada cisalhamento horizontal de fator α . Na opção Função|Nova, digite U(x,y) = x+2y e V(x,y) = y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.


A aplicação T: R2 R2 definida por T(x,y) = (x , αx + y) é chamada cisalhamento vertical de fator α . Na opção Função|Nova, digite    U(x,y) = x e V(x,y) = 2x + y e plote o mesmo quadrado do exemplo anterior. Observe o que ocorre com o quadrado.






Exercício: Considere novamente a aplicação T: R2 R2 definida por :
 T(x,y) = (xcosθysenθ, xsenθ + ycosθ).


 Digitando  U(x,y) = xcos(a) – ysin(a) e V(x,y) = xsin(a) + ycos(a)) e fazendo o parâmetro “a” variar num determinado intervalo, podemos visualizar a rotação de uma figura em torno da origem dinamicamente. Por exemplo, construa um quadrado com os seguintes segmentos: de (0,0) até (1,0), de (1,0) até (1,1), de (1,1) até (0,1) e de (0,1) até (0,0). Na opção Anim | Parâmetros A-W , digite 0 e clique em “def-L” e digite 2pi e clique em “def-R” e, em seguida, clique em “auto cícl”.


Atenção: Em breve postarei um vídeo ensinado passo - a - passo esta atividade!