Todo espaço vetorial possui uma base

 

 

 

 Este resultado, trivial no caso finito, é de fato bastante surpreendente quando se pensa em espaços vetoriais de dimensão infinita.

A ideia de escrever este post surgiu após estudar o capítulo 1 do livro de análise funcional do BREZIS, mais precisamente, a forma analítica do Teorema de Hahn – Banach. A prova deste importante teorema necessita do Lema de Zorn, que é um axioma da teoria dos conjuntos equivalente ao Axioma da Escolha, normalmente apresentado por:

 “Se em um conjunto não vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma cota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.”

 Durante o estudo pude constatar que uma aplicação simples do Lema de Zorn é provar que todo espaço vetorial independente de sua dimensão possui uma base, então me lembrei das aulas de álgebra linear, as quais esta afirmação era demonstrada apenas para o caso de dimensão finita (presumivelmente para evitar falar sobre o axioma da escolha e lema de Zorn). Diante dos fatos citados apresento a seguinte demonstração, que independe da dimensão do espaço. 

            Seja $E$ um espaço vetorial qualquer. Se $E$ possui apenas o vetor nulo, então este vetor será a base de $E$. Caso $E$ possua infinitos elementos consideramos o conjunto
  $$P=\{L\subset E;\textrm{ }L\textrm{  é linearmente independente}\}.$$  

              Neste caso, é claro que $E$ é não vazio, uma vez que todo conjunto contendo um único elemento não nulo é linearmente independente.Vejamos agora que é possível munir $P$ de uma ordem parcial ''$\leq$'' dizendo que $L_1 \leq L_2$ se, e somente se,  $L_1 \subset L_2$. Agora seja $Q \subset P$ um conjunto totalmente ordenado. Vamos mostrar que $P$ é indutivo, ou seja, existe $\tilde{L}\in P$ tal que $A \leq \tilde{L}$ para todo $A \in Q$ (neste caso $\tilde{L}$ é uma cota superior para $Q$).  Para tanto, defina $$\tilde{L}=\bigcup_{L_{\alpha} \in Q} L_\alpha .$$

            É claro que $\tilde{L} \in P$, pois dada uma combinação linear qualquer com os elementos de $\tilde{L}$ dando o vetor nulo, digamos $$a_1x_1 +  \ldots + a_nx_n = 0,$$ com $x_1 \in L_{\alpha_{1}}, \ldots , x_n \in L_{\alpha_{n}}$, como os $L_{\alpha_{i}}$'s pertencem a $Q$ e $Q$ é totalmente ordenado, existe $L_{\alpha_{j}}$ que contém todos os $x_{i's}$, $i=1, \ldots , n$. Mas $L_{\alpha_{j}} \in P$, logo $a_i=0$, $i=1, \ldots , n$. Portanto, $\tilde{L} \in P$. Isto mostra também que $\tilde{L}$ é cota superior para $Q$. Daí, pelo lema de Zorn, temos que $P$ possui um elemento maximal, digamos $\beta$. O próximo passo é mostrar que $\beta$ é uma base de $E$. Para isto, basta mostrar que $\textrm{Span}\, \beta = E$. De fato, se existisse $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$, então definiríamos $L=\{x\} \cup \beta$. Com isso,

• Se $L$ fosse linearmente independente, então $L$ pertenceria a $P$, logo teríamos $\tilde{L}> \beta$ (contradição, já que $\beta$ é maximal). 

• Se $L$ fosse linearmente dependente, então teríamos uma equação do tipo $$ax + \sum b_i \beta_i = 0, \quad \beta_i \in \beta,$$ onde os coeficientes não seriam todos nulos. Mas isso acarretaria duas possibilidades:

1. Se $a=0$ então $\beta_i=0$ (contradição, pois neste caso $L$ seria linearmente independente); 
2. Se $a\neq 0$ então $x=\sum\left(\frac{-bi}{a}\right)\beta_i$, logo $x \in \textrm{Span}\, \beta$. (contradição, pois supomos $x \in E \backslash \textrm{Span}\, \beta$).

Em qualquer caso chegaríamos a uma contradição. Portanto, $\textrm{Span}\, \beta= E$. Isto mostra que $\beta$ é uma base de $E$.

Referências

1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Diferential Equations, Springer-Verlag, 2010. 
2. http://pt.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Zorn