EXISTE UMA FUNÇÃO DOS REAIS NOS REAIS CONTÍNUA QUE TRANSFORME TODO NÚMERO RACIONAL NUM IRRACIONAL E VICE-VERSA?

 

     Neste post vamos tratar de um resultado bastante significativo no campo da Análise Real, ou, mais precisamente, no âmbito das funções contínuas. Nosso objetivo é mostrar que, não importa o quanto se procure, nunca encontraremos uma função contínua $f$, definida no conjunto dos números reais e tomando valores neste mesmo conjunto, que transforme todo número racional em um número irracional e vice-versa.

     De fato, admitamos que exista uma função $f$ conforme descrito. Definamos $g(x) = f(x) - x$. Então, se $x$ é racional $f(x)$ é irracional e vice versa, de modo que $g(x)$ é sempre irracional. Além disto, $g$ é contínua e, portanto, há duas possibilidades para o conjunto $g(\mathbb{R})$, à saber: ou $g(\mathbb{R})$ é um intervalo ou $g(\mathbb{R})$ é um conjunto com um único elemento.

    Como $g(\mathbb{R})$ é um subconjunto dos irracionais, cujo interior é vazio, segue-se que $g(\mathbb{R})$ não pode conter um intervalo aberto, o que implica que tal conjunto contém apenas um  elemento, ou seja, $g(\mathbb{R}) = \{\alpha\}$, sendo $\alpha$ um irracional. Assim, para todo real $x$, temos que $f(x) = x + \alpha$. Em particular, tomando $x=\alpha$, temos $f(\alpha)=2\alpha$, de modo que $2\alpha$ é irracional. Assim, contrariamente à hipótese, $f$ leva o irracional $\alpha$ no irracional $2\alpha$. Daí concluímos que não existe nenhuma função contínua com tal característica.

     Ressalte-se que há funções que levam racionais em irracionais e vice versa, mas nenhuma que seja contínua em $\mathbb{R}$. Um exemplo trivial é $f(x) = \sqrt{2}$ se $x$ for racional e $f(x)=2$ se $x$ for irracional. Mas obviamente $f$ não é contínua.